hoangtubelarus
 member

 ID 11101
 04/05/2006

Xin lỗi, hoangtu đi lâu ngày mới về. Bài giải đê...
         
PT:
2^x + 5^x = 3^x + 4^x (1)
(Câu này thực ra hoangtu thấy nó có cách giải hay nên mới đố các bạn chứ nó thuần tuý là Toán học thôi, ko phải là đố vui. Vậy ai xem mà ko có hứng thú thì bỏ qua cho hoangtu nha. Nói thêm là bài này bổ ích cho những ai sắp thi vào ĐH ở VN đó. Thanks.)

Cách 1:
(1)=> 5^a-3^a=4^a-2^a
Xét hàm t^a (t>0) ở đây ta xem a như là 1 hằng số và t là đối số thì hàm này liên tục trên các đoạn [3,5] và [2,4] nên theo định lý Lagrange, ta có:
trên [2,4] tồn tại c1 sao cho: (4^a-2^a):(4-2)=(c1^a)' (đạo hàm của t^a tại c1) hay là 1/2 * (4^a-2^a) = a*(c1^a-1)
tương tự trên [3,5] tìm được c2 sao cho: 1/2*(5^a-3^a)=a*(c2^a-1)
Vậy ta cần tìm các điểm a sao cho a*(c1^a-1)=a*(c2^a-1)(2)
(với c1 thuộc [2,4], c2 thuộc [3,5])
Rõ ràng chỉ có a=0 hoặc a=1 thỏa phương trình (2).
Thật vậy, ta có: nếu a=0 rõ ràng đúng
nếu a<>0, chia 2 vế của (2) cho a được:
c1^a-1=c2^a-1
=> (c1/c2)^(a-1)=1
suy ra a-1=0 => a=1.
Vậy bài toán có 2 nghiệm x=0 và x=1 mà thôi ngoài ra ko có nghiệm nào khác.

Cách 2: Hãy chứng minh rằng đạo hàm cấp 2 của hàm:
f(x) = 5^x+2^x-3^x-4^x là không đổi dấu trên R. Vậy thì đạo hàm f'(x) có nhiều nhất 1 nghiệm. Từ đây suy ra f(x) có nhiều nhất 2 nghiệm. Ta chỉ ra f có 2 nghiệm 1, 0 nên đó là 2 nghiệm duy nhất của phương trình, ngoài ra ko còn nghiệm nào khác.

Alert webmaster - Báo webmaster bài viết vi phạm nội quy
 

 springbay
 guest

 REF: 76244
 04/05/2006

  Kí hiệu: : trang cá nhân :chủ để đã đăng  : gởi thư  : thay đổi bài  :ý kiến